la mécanique des fluides

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la mécanique des fluides

Cours

   Introduction

Ceci constitue le document de cours-TD de Mécanique des fluides destiné aux élèves de deuxième année de l’école nationale supérieure des Mines de Nancy ayant choisi le département

Energie & Fluides. Ce cours se situe évidemment dans la continuité de mon cours de mécanique des milieux continus solides et fluides de première année (Plaut 2016b). En particulier j’utilise le calcul tensoriel (Plaut 2016a) et des notations identiques : les caractères gras surmontés d’une barre (exemple : v) désignent les vecteurs, les caractères gras surmontés de deux barres (exemple :

D) désignent les tenseurs d’ordre 2, etc...

Je reprends et complète dans le chapitre 1 les bases générales de la modélisation en mécanique des fluides, en allant notamment jusqu’au bilan d’énergie interne, i.e., en abordant la thérmomécanique des fluides. Le chapitre 2 parachève ces bases en présentant les lois fondamentales régissant les phénomènes interfaciaux. Le chapitre 3 est consacré au modèle du fluide parfait et à ses principales applications : ondes de surface et ondes sonores, instabilités, aérodynamique

Le chapitre 4 est consacré au modèle des écoulements de Stokes et le chapitre 5 à la théorie des couches limites. Le chapitre 6 présente quelques éléments sur les écoulements turbulents et leur modélisation. L’annexe Aétend l’analyse dimensionnelle développée dans Plaut (2016b) au cadre de la thermo mécanique des fluides. Enfin, l’annexe B présente des éléments sur les phénomènes de dispersion d’ondes.

Ce cours s’adresse « idéalement » à un futur ingénieur Recherche et Développement (R & D).

Tous ceux qui le suivront ne feront pas carrière dans la R & D, loin s’en faut, mais je me donne a priori cet objectif de formation,

pour son intérêt intellectuel ;

parce que « qui peut le plus peut le moins » ;

parce qu’une bonne R & D, et de bons bureaux d’études, sont sans doute les leviers qui permettront d’offrir un avenir à notre industrie (au sens large).

En conséquence cet enseignement est en partie basé sur l’utilisation d’un outil logiciel moderne 2 à savoir Mathematica, pour illustrer quelques phénomènes, résoudre numériquement certains modèles, faire tel ou tel calcul formel lourd, etc...

Des références intéressantes et pédagogiques en mécanique des fluides, complémentaires des éléments de cours donnés ci-après, volontairement succints, sont Huerre (1998), Chassaing (2000a,b),

Guyon et al. (2001). Des traités plus pointus, rédigés dans la langue de Shakespeare, sont ceux de Batchelor (1967) et Davidson (2004).

D’un point de vue pratique, le déroulement de ce module, avec des consignes pour un travail préparatoire avant chaque séance, est présenté sur la page web dynamique

Cette page contient une version PDF complète de ce document 3 et les fichiers amphi∗.pdf des présentations vidéos données lors des cours

1 Bases de la modélisation en mécanique des fluides

• 1.1 Modèle du milieu continu fluide, liquide ou gaz
• 1.2 Cinématique
• 1.2.1 Descriptions du mouvement
• 1.2.2 Dérivées particulaires
• 1.2.3 Tenseur des taux de déformation
• 1.2.4 Transport d’un volume infinitésimal en description eulerienne
• 1.2.5 Transport d’une quantité extensive définie par une densité volumique
• 1.3 Bilan de masse
• 1.3.1 Conservation de la masse - Débits - Vitesse débitante
• 1.3.2 Transport d’une quantité extensive définie par une densité massique
• 1.4 Bilan de quantité de mouvement
• 1.4.1 Expression cinématique du taux d’évolution de la quantité de mouvement
• 1.4.2 Bilan dynamique - Tenseur des contraintes
• 1.5 Comportement des fluides visqueux - Equation de Navier-Stokes
• 1.5.1 Cas de fluides compressibles
• 1.5.2 Cas de fluides incompressibles
• 1.6 Compléments : origine et estimation physique de la viscosité
• 1.6.1 Cas de liquides
• 1.6.2 Cas de gaz
• 1.7 Bilans d’énergie cinétique
• 1.8 Application : pertes de charge dans unécoulement ouvert
• 1.9 Bilans d’énergie interne
• 1.10 Exercices, problème et compléments
• Ex. 1.1 : Estimation de la poussée d’un moteur fusée
• Ex. 1.2 : Propulsion de fusées ou vaisseaux spatiaux idéaux
• Ex. 1.3 : Estimation des poussées de turboréacteurs simple et double flux
• Ex. 1.4 : Ecoulement laminaire dans un tuyau
• Pb. 1.1 : Etude d’écoulements de Couette cylindrique - Applications
• Comp. 1.1 : Sur la première instabilité de l’écoulement de Couette cylindrique
• Comp. 1.2 : Sur les paliers réellement utilisés en centrales

2 Conditions à une interface entre fluides - Tension superficielle

• 2.1 Conditions de nature cinématique
• 2.2 Forces linéiques de tension superficielle - Interprétation
• 2.3 Condition dynamique à une interface
• 2.3.1 Cas d’une interface plane
• 2.3.2 Cas d’une interface courbe bidi-mensionnelle
• 2.3.3 Cas d’une interface courbe tridimensionnelle
• 2.4 Problème faisant intervenir les conditions d’interface
• Pb. 2.1 : Lubrification d’un écoulement en tuyau de fluide très visqueux

3 Modèle du fluide parfait - Applications

• 3.1 Généralités
• 3.1.1 Le fluide parfait : un modèle très simplifié
• 3.1.2 Equation d’Euler
• 3.1.3 Premier théorème de Bernoulli
• 3.1.4 Equation de la vorticité - Dynamique de la vorticité
• 3.2 Ecoulements potentiels en général
• 3.2.1 Définition
• 3.2.2 Second théorème de Bernoulli
• 3.2.3 Ecoulements bidimensionnels : fonction courant
• 3.3 Ondes d’interface avec tension superficielle - Introduction aux instabilités
• 3.3.1 Principes de l’analyse linéaire de stabilité
• 3.3.2 Analyse des ondes d’interface
• 3.4 Effets de compressibilité dans les fluides : ondes sonores
• 3.4.1 Théorie générale en milieu fluide « infini »
• 3.4.2 Cas des liquides
• 3.4.3 Cas des gaz parfaits
• 3.4.4 Critère d’effets de compressibilité dans unécoulement macroscopique
• 3.5 Ecoulements potentiels 2D par analyse complexe
• 3.5.1 Description par un potentiel complexe
• 3.5.2 Premier exemple simple : puits et source ponctuels
• 3.5.3 Deuxième exemple simple : tourbillon ponctuel
• 3.5.4 Un exemple plus compliqué :écoulement autour d’un disque
• 3.6 Ecoulements potentiels 2D par analyse complexe - transformation conforme
• 3.6.1 Généralités
• 3.6.2 Transport des lignes de courant
• 3.6.3 Transport du vecteur vitesse
• 3.6.4 Transport de la circulation et du débit réduit
• 3.6.5 Transport d’une force appliquée à un obstacle
• 3.7 Problème faisant le lien fluides parfaits - fluides visqueux
• Pb. 3.1 : Ecoulements plans produits par un gradient de pression oscillant
• 3.8 Exercice et problèmes sur interfaces - tension superficielle - instabilités
• Ex. 3.1 : Modes de ballottement d’une cuve rectangulaire
• Pb. 3.2 : Etude détaillée d’ondes de surface en eau profonde
• Pb. 3.3 : Instabilités de Kelvin-Helmholtz et Rayleigh-Taylor
• Comp. 3.1 : On the Rayleigh-Taylor Instability
• Comp. 3.2 : Sur les instabilités de Kelvin-Helmholtz
• Pb. 3.4 : Rôle de la tension superficielle dans diverses instabilités
• Pb. 3.5 : Etude de la stabilité d’un fluide pesant continûment stratifié
• Pb. 3.6 : Modélisation de phénomènes en lien avec la cavitation
• Pb. 3.7 : Etude de quelques phénomènes dans une centrale hydraulique
• 3.9 Exercice faisant le lien ondes d’interface - ondes sonores
• Ex. 3.2 : Analogie entre ondes d’interface et ondes acoustiques
• 3.10 Exercices et problème sur les ondes sonores
• Ex. 3.3 : Etude détaillée des ondes sonores planes en milieu semi-infini
• Ex. 3.4 : Etude sommaire de l’effet coup de bélier dans une conduite d’eau
• Pb. 3.8 : Effets de la viscosité sur des ondes de type sonore
• 3.11 Exercice et problèmes sur l’aérodynamique potentielle
• Ex. 3.5 : Etude locale du champ de vitesse d’un tourbillon potentiel
• Pb. 3.9 : Ecoulements d’un fluide parfait autour d’un disque avec circulation
• Pb. 3.10 : Modèles d’écoulements autour d’une aile d’avion à section elliptique

4 Ecoulements de Stokes

• 4.1 Définition
• 4.2 Propriétés
• 4.2.1 Linéarité
• 4.2.2 Réversibilité cinématique
• 4.2.3 Unicité de la solution
• 4.2.4 Minimum de dissipation
• 4.3 Remarques de conclusion
• 4.4 Exercice et problèmes
• Ex. 4.1 : Etude d’écoulements de Couette diphasiques
• Pb. 4.1 : Ecoulement de Stokes autour d’une sphère ; application : sédimentation
• Pb. 4.2 : Ecoulements de Stokes dans et autour d’une inclusion sphérique
• Pb. 4.3 : Etude d’un fluide généralement non newtonien par rhéomètre plan-cône
• 4.5 Problème :écoulement faiblement inertiel
• Pb. 4.4 : Etude de l’écoulement dans une cavité rotor-statorétendue

5 Couches limites

• 5.1 Introduction - Equations de Prandtl
• 5.2 Couche limite de Blasius au dessus d’une plaque plane
• 5.3 Problèmes
• Pb. 5.1 : Etude de la couche limite de Blasius
• Pb. 5.2 : Calcul de la fonction de Blasius à l’aide d’une méthode de tir
• Pb. 5.3 : Couches limites : généralités, couches limites aspirée et standard
• Pb. 5.4 : Etude des couches limites de Falkner-Skan

6 Ecoulements turbulents

• 6.1 Décomposition en champs moyens et fluctuations
• 6.2 Echelles caractéristiques de la turbulence et cascade de Kolmogorov
• 6.3 Théorie de Kolmogorov : corrélations et spectres
• 6.3.1 Principales hypothèses de la théorie de Kolmogorov
• 6.3.2 Corrélation et densité spectrale d’énergie 3D
• 6.3.3 Corrélations et densités spectrales d’énergie 1D
• 6.3.4 Hypothèse de Taylor
• 6.3.5 Spectre de Kolmogorov
• 6.4 Equations de Reynolds
• 6.5 Modèle de Boussinesq - Viscosité turbulente
• 6.6 Modèle de longueur de mélange de Prandtl
• 6.7 Equations d’évolutions supplémentaires
• 6.7.1 Motivation : mise en place du modèle k − ε . Dissipations
• 6.7.2 Equation d’évolution de la vitesse fluctuante
• 6.7.3 Equation d’évolution de l’énergie cinétique turbulente
• 6.7.4 Equation d’évolution de la pseudo-dissipation turbulente
• 6.8 Modèle k − ε
• 6.8.1 Equation d’évolution de l’énergie cinétique turbulente modélisée
• 6.8.2 Equation d’évolution de la pseudo-dissipation turbulente modélisée
• 6.8.3 Modèle k − ε de la viscosité turbulente
• 6.9 Diffusion turbulente d’un champ scalaire
• 6.10 Eléments de conclusion
• 6.11 Exercices et problèmes
• Ex. 6.1 : Estimation d’ordres de grandeur enécoulement turbulent
• Ex. 6.2 : Calcul tensoriel
• Ex. 6.3 : Dissipations en turbulence homogène et isotrope
• Pb. 6.1 : Modèle simplifié de turbulence en proche paroi - Lois de paroi
• Ex. 6.4 : Modèle k − ε de turbulence de grille et mesure de la constante C2ε
• Pb. 6.2 : Ecoulements dans un tuyau : cas laminaire et turbulent en modèle ́ k − ε

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